Шпаргалки по Численным методамЗначащие и верные цифры. Округление чисел. Решения, полученные численным методом, обычно являются приближенными, т.е. содержат некоторую погрешность. Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок: 5 этапов: Моделирование - осуществляется постановка задачи и построение математической модели. Математическая постановка - точная формулировка условий и целей решения. Построение математической модели - выделение наиболее существенных свойств реального объекта и описание их с помощью математических соотношений. Алгоритмизация - осуществляется выбор метода и разработка алгоритма. Программирование - алгоритм записывается на понятном ЭВМ языке. Реализация - осуществляется отладка и исполнение программы на ЭВМ. Интерпретация - анализ полученных результатов. Ошибки могут появляться на любой стадии. Погрешность обуславливается: Матем. Описание задач неточно (например, исходные данные неточны). Погрешность, соответствующая этой причине, называется неустранимой погрешностью. Применяемый для решения метод часто является неточным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому прибегают к приближенному решению. Часто погрешность возникает вместо замены бесконечных процессов конечными - это погрешность метода . При выполнении арифметических операций часто производиться округление. Абсолютная и относительная погрешность: Приближенное число « x » - число, незначительно отличающееся от точного «Х» и заменяющее последнее вычисление. Пусть «Х» - истинное значение некоторой величины. «х» - ее известное приближение. Погрешность=(Х-х). Знак погрешности не имеет значения, поэтому рассматривают |Х-х|. Величина |Х-х| называется абсолютной погрешностью приближенного значения «х». Число «Х» часто неизвестно. =>По формуле считать нельзя, но бывает известна абсолютная величина ошибки, т.е. такое наименьшее число ?х для которого справедливо неравенство: |Х-х| Неравенство |Х-х| + ?х. По абсолютной погрешности нельзя судить о точности измерений и вычислений. Качество приближенных значений измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки |Х-х|/Х. Границей относительной погрешности ?х приближенного числа Х называется отношение предельной абсолютной погрешности ?х к модулю значения Х. ?х=?х/|x| Относительная погрешность часто выражается в процентах. Значащие и верные цифры: Значащие цифры в записи числа - все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.(все цифры, начиная с первой ненулевой слева). Значащая цифра называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующей этой цифре. Значащая цифра называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда в которой стоит эта цифра. Сомнительные - не верные цифры. Правильная запись - если в его записи все цифры верны. Правильная запись обязывает выписывать нули в последних разрядах, если они являются выражением верных цифр. Округление чисел: Округление - замена числа его приближением с меньшим количеством значащих цифр. ?окр=|Х-х n | Абсолютная погрешность числа складывается из абсолютной погрешности первоначального числа и погрешности округления, т.е. ?х 1 =?х+?окр Используется 3 метода округления чисел: Отбрасывание: Оставляет все сохраняемые цифры округляемого числа верными в широком смысле. Округление завышением: Последнюю цифру увеличиваем на 1 Метод симметричного округления Выполняется по правилам: Если первая слева из отбрасываемых цифр Если первая слева из отбрасываемых цифр >5, то последняя сохр-ая цифра увеличивается на 1 Если первая слева из отбрасываемых цифр =5 и среди отбрасываемых цифр есть ненулевые, то последняя сохран-я цифра увеличивается на 1 Если первая слева из отбрасываемых цифр =5, и остальные отбрасываемые цифры 0, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1, если она нечетная и остается неизменной, если она четная. ( правило четной цифры ) Погрешности записывают с 1 значащей цифрой и всегда округляют завышением. Вопрос №1 Источники погрешностей величин, структура погрешности приближенного значения числовой величины Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок. Абсолютная и относительная погрешности. Значащие и верные цифры. Округление чисел. Решения, полученные численным методом, обычно являются приближенными, т.е. содержат некоторую погрешность. Этапы решения прикладной задачи и классификация ошибок: 5 этапов: Моделирование - осуществляется постановка задачи и построение математической модели. Математическая постановка - точная формулировка условий и целей решения. Построение математической модели - выделение наиболее существенных свойств реального объекта и описание их с помощью математических соотношений. Алгоритмизация - осуществляется выбор метода и разработка алгоритма. Программирование - алгоритм записывается на понятном ЭВМ языке. Реализация - осуществляется отладка и исполнение программы на ЭВМ. Интерпретация - анализ полученных результатов. Ошибки могут появляться на любой стадии. Погрешность обуславливается: Матем. Описание задач неточно (например, исходные данные неточны). Погрешность, соответствующая этой причине, называется неустранимой погрешностью. Применяемый для решения метод часто является неточным: получение точного решения задачи требует неограниченного или неприемлемо большого числа арифметических операций, поэтому прибегают к приближенному решению. Часто погрешность возникает вместо замены бесконечных процессов конечными - это погрешность метода . При выполнении арифметических операций часто производиться округление. Абсолютная и относительная погрешность: Приближенное число « x » - число, незначительно отличающееся от точного «Х» и заменяющее последнее вычисление. Пусть «Х» - истинное значение некоторой величины. «х» - ее известное приближение. Погрешность=(Х-х). Знак погрешности не имеет значения, поэтому рассматривают |Х-х|. Величина |Х-х| называется абсолютной погрешностью приближенного значения «х». Число «Х» часто неизвестно. =>По формуле считать нельзя, но бывает известна абсолютная величина ошибки, т.е. такое наименьшее число ?х для которого справедливо неравенство: |Х-х| Неравенство |Х-х| + ?х. По абсолютной погрешности нельзя судить о точности измерений и вычислений. Качество приближенных значений измеряется с помощью относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки |Х-х|/Х. Границей относительной погрешности ?х приближенного числа Х называется отношение предельной абсолютной погрешности ?х к модулю значения Х. ?х=?х/|x| Относительная погрешность часто выражается в процентах. Значащие и верные цифры: Значащие цифры в записи числа - все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.(все цифры, начиная с первой ненулевой слева). Значащая цифра называется верной в широком смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующей этой цифре. Значащая цифра называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность числа не превосходит половины единицы разряда в которой стоит эта цифра. Сомнительные - не верные цифры. Правильная запись - если в его записи все цифры верны. Правильная запись обязывает выписывать нули в последних разрядах, если они являются выражением верных цифр. |