Цилиндр

Сталеві труби є прямі циліндри з тонким круговим кільцем в підставі. Під циліндром розуміють зазвичай круглі предмети, але якщо у вигляді циліндри в нашому загальному сенсі, то можна привести безліч інших прикладів. Рейки, різні види прокату, бетонні жолоби і інші вироби мають різноманітні форми циліндрів (хоч і не круглих). У практиці їх характеризують формою перпендикулярного перетину.

Колони, якщо вони не звужуються догори, стовпи балки в будівельних конструкціях мають форму циліндрів, зокрема, призм, прямих і похилих.

Наприклад, мостові ферми складаються суцільно з частин, що мають форму призм. ІІ. Циліндр 1. Визначення і загальні властивості циліндра . Циліндром ( точніше, круговим циліндром) називається тіло, Що складається з двох кругів, які не лежать в одній площині і суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що сполучають відповідні точки цих кругів. Круги називаються основами циліндра, а відрізки, що сполучають точки кіл кругів, - твірними циліндра. Оскільки паралельне перенесення є рух, то основи циліндра рівні. Через те що при параллельному перенесенні площина переходить у паралельну площину (або в себе), то основи циліндра лежать у паралельніх площинах. Оскільки при параллельному перенесенні точки зміщуються вздовж паралельних прямих або прямих, що збігаються на одну й ту саму відстань, то твірні циліндра паралельні і рівні. Поверхня циліндра складається з основ і бічної поверхні. Бічна поверхня – з твірних. Нескінченне тіло, обмежене замкнутою нескінченною циліндровою поверхнею, називається нескінченним циліндром. Нескінченне тіло, обмежене замкнутим циліндровим променем і його підставою, називається відкритим циліндром. Підстава і створюючі циліндрового променя називають відповідно підставою і створюючими відкритого циліндра. Кінцеве тіло, обмежене замкнутою кінцевою циліндровою поверхнею і двома перетинами, що виділили її, називається кінцевим циліндром, або власне циліндром.

Перетини називаються підставами циліндра. За визначенням кінцевої циліндрової поверхні, підстави циліндра рівні. Циліндри зазвичай уявляють собі круглими, тобто з круглою підставою. Їх можна визначити так: хай дано дві паралельні площини, задана деяка фігура F. Зі всіх точок площини фігури F проведемо паралельні один одному відрізки до площини ’ . Фігура, яку утворюють ці відрізки, і називається циліндром. Фігура F, з точок якої проведені відрізки, називається підставою циліндра. Відрізки, створюючі циліндра, так і називаються його створюючими. Призмою, вписанною у циліндр, називається така призма, у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічними ребрами – твірні циліндра.

Дотичною площиною до циліндра називається площина, яка проходить через твірну циліндра і перпендикулярна до площини осьового перерізу, що містить цю твірну.

Призмою, описаною навколо циліндра, називається призма у якої площинами основ є площини основ циліндра, а бічеі грані дотикаються до циліндра. Циліндр називається прямим, якщо його твірні перпендикулярні до площин основ. Радіусом циліндра називається радіус його основи.

Висота - відстань між площинами його основ. Вісь - пряма, що проходить через центри основ. Вона параллельна твірним.

Перетин ц. площиною, що проходить через вісь ц. - осьовий перетин.

Теорема 19.1. Площина, перпендикулярна осі циліндра, перетинає його бічну поверхню по колу, рівному колу основи. Доказ. Нехай - площина, перпендикулярна осі циліндра. Ця площина || основам.

Паралельне перенесення у напрямі осі циліндра, що суміщає площину з площиною основи циліндра, суміщає перетин з площиною і з колом основи. У прямому циліндрі: вісь = висота = твірна 2. Прості властивості циліндра: 1.Основи рівні і паралельні (з опр.). 2.Створюючі рівні і паралельні (з властивостей паралельного перенесення, по властивості паралельних площин). Дійсно, будь-яке такий перетин є загальним двох циліндрів, на які січна площина розбиває даний циліндр. Тому воно рівне іншим основам цих циліндрів, які є основами початкового циліндра.

Перпендикуляр, опущений з будь-якої площини однієї основи циліндра на площину іншої його основи, називається висотою циліндра (інакше довжина створюючої). Оскільки площини основ паралельні, то перпендикуляри у них загальне і всі вони рівні. Тому висоту можна проводити з будь-якої точки площини основи. Для того, щоб задати циліндр, досить задати його поснову і одну створюючих. Для цього достатньо, щоб яка – те твірна була перпендикулярно площини підстави, оскільки решта створюючих паралельна їй і теж будуть перпендикулярні до площини підстави. Циліндру можна дати і інше визначення. Циліндр можна визначити як фігуру, утворену рівними і паралельними один одному відрізками, що йдуть зі всіх точок деякої плоскої фігури F в один бік від її площини . 3. Перетини Осьовий перетин. 4. Циліндр обертання Прямим круговим циліндром називається прямий циліндр, основа якого – круг. Відрізок, що сполучає центри його основ, називається віссю циліндра. Вісь прямого кругового циліндра є його віссю обертання, а сам він – фігура обертання. Всі перетини прямого кругового циліндра площинами, паралельними площинам основ, є кругами з центрами на осі (по властивості 3). Площини цих кругів перпендикулярні осі. Тому прямий круговий циліндр є фігурою обертання і його називають циліндром обертання. Він виходить обертанням прямокутника навколо сторони. Ці прямокутники називаються осьовими перетинами циліндра обертання.

Створюючі циліндра обертання, витікаючі з точок кола підстави, утворюють його бічну поверхню.

Поверхня циліндра обертання називається об'єднання його підстав і бічної поверхні циліндра.

Поверхню циліндра обертання іноді називають його повною поверхнею, підкреслюючи цим, що вона складається з бічної поверхні і двох підстав. Циліндр обертання симетричний щодо будь-якої площини, що проходить через його вісь, а також щодо площини, що ділить навпіл його створюючі. Циліндр обертання має центр симетрії – середину його осі. 5. Еліпс як перетин циліндра обертання.

Просту криву поверхню, саме круговий циліндр, можна отримати за допомогою простих кривих – кола і прямої – таким чином. Через одну з точок кола проведемо пряму, перпендикулярну до площини круга, і переміщатимемо її паралельною самій собі уздовж всього кола. Можна також отримати круговий циліндр, примусивши одну пряму обертатися навколо іншої прямої, що паралельної першої і служить для першою прямою віссю обертання. Таким чином, круговий циліндр є поверхня обертання.

Поверхні обертання представляють важливий тип поверхонь; вони зустрічаються в практичному ужитку у вигляді стаканів, пляшок і т.д. Всі вони можуть бути охарактеризовані тим, що їх можна отримати шляхом обертання деякої плоскої кривої навколо осі, лежачої в її площині. Площина, перпендикулярна до осі, перетинає круговий циліндр по колу; площина, похила до осі, дає в перетині, як в цьому можна безпосередньо переконатися, елліпсовідную криву.

Покажемо, що ця крива дійсна еліпс. Для цього візьмемо кулю такого діаметру, щоб він в точності відповідав внутрішності циліндра, і пересуватимемо цю кулю усередині циліндра до зіткнення з січною площиною.

Поверхня, яка в деякій декартовій системі координат задається рівнянням

{a^2}+frac{y^2}{b^2}='1,$' v:shapes='_x0000_i1032'}

(13.18)

{a^2}-frac{y^2}{b^2}='1,$' v:shapes='_x0000_i1033'}

(13.19)

(13.20)

Площею повної поверхні циліндра називається сума площ бічної поверхні і двох основ. Оскільки площа кожної основи рівна r 2 , то для обчислення площі S цил повної поверхні циліндра отримуємо формулу: S цил = 2 r · ( r + h ) 8. Циліндр як одна з головних частин поршневого двигуна Циліндр — одна з головних частин поршневого двигуна внутрішнього згорання. Є робочою камерою об'ємного витіснення. Внутрішні і зовнішні частини циліндрів випробовують різний нагрів і зазвичай виконуються з окремих частин: 1. Внутрішня частина — робоча втулка гільза. 2. Наружная — сорочка. Простір між ними називається зарубашечним, в двигуном з водяним охолоджуванням тут циркулює вода. Внутрішня поверхня гільзи піддається спеціальній обробці — хонінгованіє, хромування, азотування. Гільзи відливають з чавуну високої міцності або спеціальних сталей.

Сорочки і корпус блоку циліндрів виготовляють зазвичай з того ж матеріалу, що і станина двигуна. Циліндри двотактних двигунів відрізняються по конструкції від циліндрів 4-х тактний двигунів наявністю випускних і продувочних вікон. Крім того, у циліндрів двотактних двигунів подвійної дії є в наявності нижня кришка для утворення робочої порожнини під поршнем. У переважній більшості випадків сорочки циліндрів виконуються у вигляді одного відливання для всього ряду циліндрів і називаються блоком циліндрів. 9. Дослідницька робота Завдання №1 Радіус основи циліндра 2м, висота 3м. знайдіть діагональ осьового перерізу. Дано: Циліндр, R=2 м, H =3м.

Знайти: А 1 В - ? Розв’язання Перший переріз данного циліндра – прямокутник АВВ 1 А 1 . АВ=А 1 В 1 =2 R , АА 1 =ВВ 1 =4 ( R - радіус циліндра, H – висота циліндра). З А 1 ВВ 1 , де В 1 =90 , та теоремою Піфагора: А 1 В= ВВ 1 2 + А 1 В 1 2 = H 2 +4 R 2 = 9+16= 25=5 (м). Відповідь: А 1 В=5 (м). Завдання №2 Осьовий переріз циліндра – квадрат, площа якого Q . Знайдіть плошу основи циліндра. Дано: Циліндр, квадрат АВС D S АВС D = Q Знайти: площу основи циліндра. Розв ’ язання Сторона квадрату дорівнює Q . Вона дорівнює діаметру основи. Тому площа основи дорівнює Q /2 2 = Q /4. Відповідь: площа основи циліндра дорівнює Q /4 Завдання №3 У циліндр вписано правильну трикутну призму, а в призму – циліндр. Знайдіть відношення об ’ ємів циліндрів. Дано: Циліндр вписаний у трикутну призму, а в призму – циліндр.

Знайти: V 1 /V 2 - ? Розв ’ язання В основу циліндра вписано правильний трикутник, Його основу позначимо через а.

Очевидно, що радіус описанного циліндра дорівнює радіусу кола, описанного навколо основи: R= a 3 /3 Радіус вписанного у призму циліндра дорівнює радіусу кола, вписанного в основу призми: R= a 3 /6 Відношення об ’ ємів циліндрів: V 1 R 2 H R 2 a 2 · 12 V 2 R 2 H r 2 3 · a 2 Відповідь: V 1 /V 2 = 4 ІІІ. Висновок Отже, циліндр є одним з тіл обертання. Циліндр, який ми розглядаємо, як геомеоричну фігуру, назівається прямим круговим циліндром.

Приямий циліндр наочно можна розглядати як тіло, утворене в результаті обертання прямокутника навколо сторонни як осі. Прямий циліндр має 2 основи, висоту, радіус і вісь. Має свої певні властивості. Легко визначається об’єм і площа циліндра за формулами, які вже згадувались. Циліндр може бути вписаний і описаний у призмі. Також існують й інші циліндри. На сьогоднішній день нам відомі такі види циліндрів, як: - параболічний циліндр; - гіперболічний циліндр; - еліптичний циліндр. Такі циліндри часто використовуються в техніці. Наприклад: циліндр одна з головних частин поршневого двигуна, металічні труби мають циліндричну форму, багато ємкостей мають циліндричну форму. І V . Список використаної літератури та сайтів 1. http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A6%D0%B8%D0%BB%D0%B8%D0%BD%D0%B4%D1%80_%28%D0%B4%D0%B2%D0%B8%D0%B3%D0%B0%D1%82%D0%B5%D0%BB%D1%8C%29 2. http://r eferat - download . ru / Matematica / Cilindr -2. html 3. Навчальний посібник для студентів.

Геометрія 2 частина. Освіта 1987р.